Question

8．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠AED+∠AFD=180°，求证：DE=DF．

Answer 1

分析 过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=DN，再求出∠AED=∠DFN，然后利用“角角边”证明△DEM和△DFN全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF．

解答 证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DM=DN，
∵∠AED+∠AFD=180°，
∠DFN+∠AFD=180°（平角定义），
∴∠AED=∠DFN，
在△DEM和△DFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠DFN}\\{∠DME=∠DNF=90°}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△DFN（AAS），
∴DE=DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．