Question

16．如图，已知在等边△ABC中，AD，CF分别为边CB，BA上的中线，以AD为边作等边△ADE．求证：
（1）四边形CDEF是平行四边形；
（2）EF平分∠AED．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质证出DE=CF，DE∥CF，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质和等边三角形的性质证出∠AEF=30°=∠DEF即可．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，AD，CF分别为边CB，BA上的中线，
∴AD=CF，AD⊥BC，∠BCF=30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AD，∠ADE=60°，
∴∠BDE=90°-60°=30°=∠BCF，
∴DE=CF，DE∥CF，
∴四边形CDEF是平行四边形；

（2）∵四边形CDEF是平行四边形，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠BCF=30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠AEF=30°=∠DEF，
∴EF平分∠AED．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．