Question

12．已知O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，AF是中线，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，求证：O、G、H三点共线，且GH=2OG．

Answer 1

分析 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点M．连结AM、CM、AH、CH、OH、OF．中线AF交OH于点G′，首先证得四边形AMCH是平行四边形，从而得到△OFG′∽△HAG′，利用相似三角形的性质得到G′是△ABC的重心 （重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离比为2：1），从而证得结论．

解答 证明：作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点M．连结AM、CM、AH、CH、OH、OF．中线AF交OH于点G′，
∵BM是直径，
∴∠BAM=∠BCM=90°，
∴AM⊥AB，MC⊥BC，
∵CH⊥AB，AH⊥BC，
∴MA‖CH，MC‖AH，
∴四边形AMCH是平行四边形，
∴AH=MC，
∵F是BC的中点，O是BM的中点，
∴OF=$\frac{1}{2}$MC，
∴OF=$\frac{1}{2}$AH，
∵OF‖AH，
∴△OFG’∽△HAG′，
∴AG′：FG′=AH：FO=2：1=G′H：OG′，
∴G′是△ABC的重心 （重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离比为2：1），
∴G与G′重合，
∴O、G、H三点在同一条直线上，且GH=2OG．条直线上，且GH=2OG．

点评 本题考查了三角形的五心，解题的关键是了解重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离比为2：1，难度较大．