Question

18．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），C（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c列方程组即可．
（2）先求出CD的长，分两种情形①当CP=CD时，②当DC=DP时分别求解即可．
（3）求出直线BC的解析式，设E$（m，-\frac{1}{2}m+2）$则F$（m，-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+2）$，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）把A（-1，0），C（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$b=\frac{3}{2}$，c=2，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）存在．如图1中，∵C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0），
∴OC=2，OD=$\frac{3}{2}$，CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$

①当CP=CD时，可得P₁（$\frac{3}{2}$，4）．
②当DC=DP时，可得P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）
综上所述，满足条件的P点的坐标为$（\frac{3}{2}，4）$或$（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$或$（\frac{3}{2}，-\frac{5}{2}）$．

（3）如图2中，

对于抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=4，x₂=-1
∴B（4，0），A（-1，0），
由B（4，0），C（0，2）得直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设E$（m，-\frac{1}{2}m+2）$则F$（m，-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+2）$，
EF=$（-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+2）$-$（-\frac{1}{2}m+2）$=$-\frac{1}{2}{m^2}+2m=-\frac{1}{2}{（m-2）^2}+2$
∴$-\frac{1}{2}$＜0，∴当m=2时，EF有最大值2，
此时E是BC中点，
∴当E运动到BC的中点时，△EBC面积最大，
∴△EBC最大面积=$\frac{1}{2}$×4×EF=$\frac{1}{2}$×4×2=4，此时E（2，1）．

点评 本题考查二次函数、一次函数的应用、最值问题．等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．