Question

6．已知x，y为整数，且满足（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$）=-$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{{x}^{4}}$-$\frac{1}{{y}^{4}}$），求x+y的值．

Answer 1

分析 根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即可．

解答 解：∵（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$）=-$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{{x}^{4}}$-$\frac{1}{{y}^{4}}$），
∴（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$）=-$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{{y}^{2}}$）（$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{y}^{2}}$），
∴（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=-$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{y}^{2}}$），
∴（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）[1+$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$）]=0，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=0或1+$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$）=0，
∴x+y=0或$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$=-$\frac{3}{2}$，
由$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$=-$\frac{3}{2}$得，x=$\frac{2y}{2-3y}$，
整理得，x+y=$\frac{2}{\frac{2}{y}-3}$+y，
当y=1或2时，x为整数-2或-1，
则x+y=±1，
∴x+y的值为0或±1．

点评 本题考查的是分式的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键．