Question

3．在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（t，0）是x轴正半轴上的点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．
（1）点C的坐标为（t+3，$\frac{t}{2}$）；
（2）△ABC的面积为$\frac{{t}^{2}+36}{4}$．（均用含t的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）根据点A和点B的坐标可以求得点M的坐标，从而可以求得点C的坐标；
（2）根据点A和点B的坐标可以求得AB的长，从而可以求得BM的长，进而求得△ABC的面积．

解答 解：（1）∵点A（0，6），点B（t，0），点M是线段AB的中点，
∴点M的坐标是（$\frac{t}{2}，3$），
又∵将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC，
∴点C的坐标为：（t+3，$\frac{t}{2}$），
故答案为：（t+3，$\frac{t}{2}$）；
（2）∵点A（0，6），点B（t，0），点M的坐标是（$\frac{t}{2}，3$），∠ABC=90°，
∴AB=$\sqrt{{t}^{2}+36}$，BM=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+36}}{2}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+36}}{2}$，
∴△ABC的面积是：$\frac{AB•BC}{2}=\frac{\sqrt{{t}^{2}+36}•\frac{\sqrt{{t}^{2}+36}}{2}}{2}=\frac{{t}^{2}+36}{4}$，
故答案为：$\frac{{t}^{2}+36}{4}$．

点评 本题考查坐标与图形的变化-旋转，三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．