Question

11．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6$\sqrt{3}$，∠BAD=60°，且AB＞6$\sqrt{3}$．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=8，求AE+AF的值．

Answer 1

分析 （1）作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H，由菱形的性质得出AC平分∠BAD，由角平分线的性质得出PG=PH，由HL证明Rt△PGE≌Rt△PHF，得出∠HPF=∠GPE，GE=HF，求出∠GPH=120°，即可得出∠EPF=120°；
（2）由菱形的性质得出∠PAG=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出PG=$\frac{1}{2}$AP=4，由勾股定理求出AG=$\sqrt{3}$PG=4$\sqrt{3}$，求出AE+AF=2AG=8$\sqrt{3}$即可．

解答 解：（1）作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H，如图所示：
则∠PGE=∠PHF=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴PG=PH，
在Rt△PGE和Rt△PHF中，$\left\{\begin{array}{l}{EP=FP}\\{PG=PH}\end{array}\right.$，
∴Rt△PGE≌Rt△PHF（HL），
∴∠HPF=∠GPE，GE=HF，
∵∠BAD=60°，
∴∠GPH=120°，
∴∠EPF=120°；
（2）∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠PAG=30°，
∴PG=$\frac{1}{2}$AP=4，
∴AG=$\sqrt{3}$PG=4$\sqrt{3}$，
∴AE+AF=AG+GE+AH-HF=2AG=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．