Question

17．如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
（1）求证：BG=DG．
（2）求△BDG的面积．

Answer 1

分析 （1）因为折叠前后∠DBC=∠DBC′，且因为平行，内错角相等，所以∠DCB=∠ADB，所以根据角之间的等量代换可知DG=BG；
（2）要想求出三角形BGD的面积，根据题中条件，只要求出三角形AGB或者GDC′面积后，利用求差的办法即可求得△BGD的面积．

解答 （1）证明：∵△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的，
∴∠C′BD=∠CBD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CBD=∠GDB，
∴∠C′BD=∠GDB，
∴BG=DG；

（2）解：设DG=x，则AG=AD-DG=8-x，
∵∠A=90°，BG=DG=x，
∴BG²=AB²+AG²，
∴x²=6²+（8-x）²，
∴x=$\frac{25}{4}$，
∴△BGD的面积=$\frac{1}{2}$DG×AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×6=$\frac{75}{4}$（cm）．

点评 本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键，（2）利用勾股定理列出方程是解题的关键．