Question

7．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形OCBA绕点C逆时针旋转角度一个锐角度数α，得到正方形DCFE，ED交线段AB与点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．
（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）认真探究，直接写出∠HCG=45°，HG、OH、BG之间的数量关系为HG=BG+OH．
（3）连接BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形性质得出∠CBG=90°，CB=OC，根据旋转的性质得出∠CDG=90°，CD=OC，求出CD=BC，∠CDG=∠CBG=90°，∠CDH=90°，根据HL推出Rt△CBG≌Rt△CDG即可；
（2）求出Rt△COH≌Rt△CDH，推出OH=HD，∠OCH=∠DOH，根据全等得出BG=DG，∠BCG=∠DCG，即可得出答案；
（3）根据正方形性质得出∠BAO=90°，AB=OA=6，根据矩形的性质得出DE=AB=6，BG=AG=3，求出DG=GE=AG=3，设OH=x，则DH=OH=x，根据勾股定理得出（6-x）²+3²=（3+x）²，求出x即可．

解答 （1）证明：∵四边形OCBA是正方形，
∴∠CBG=90°，CB=OC，
∵旋转正方形OCBA到正方形CDEF，
∴∠CDG=90°，CD=OC，
∴CD=BC，∠CDG=∠CBG=90°，∠CDH=90°，
在Rt△CBG和Rt△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CBG≌Rt△CDG（HL）；

（2）解：∠HCG=45°时，HG=BG+OH，
理由是：∵∠COH=∠CDH=90°，
在Rt△COH和Rt△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△COH≌Rt△CDH（HL）；
∴OH=HD，∠OCH=∠DOH，
∵Rt△CBG≌Rt△CDG，
∴BG=DG，∠BCG=∠DCG，
∴HG=HD+DG=BG+OH，∠HCG=$\frac{1}{2}$∠OCB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
故答案为，45°，HG=BG+OH；

（3）解：在旋转过程中四边形AEBD能为矩形，
∵四边形OCBA是正方形，B（6，6），
∴∠BAO=90°，AB=OA=6，
∵四边形AEBD是矩形，
∴DE=AB=6，BG=AG=3，
∴DG=GE=AG=3，
设OH=x，则DH=OH=x，
在RtGAH中，由勾股定理得：AG²+AH²=HG²，
即（6-x）²+3²=（3+x）²，
解得：x=2，
∴H的坐标是（2，0）．

点评 本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，用了方程思想，难度偏大．