Question

17．正方形ABCD的面积为（2-$\sqrt{3}$）cm²，点P是对角线AC上一动点，则线段AP，BP，DP之和的最小值为1cm．

Answer 1

分析 将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，连接BE交AC于点G，连接PF、DE，则△APF、△ADE是等边三角形，从而得出PA+PB+PD=PF+PB+EF，进而得出∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，得出∠ABE=∠AEB=15°，即可求得∠AQE=∠BAC+∠ABE=60°，证得PF∥BE，设直线AF交BE于点G，则△AQG是等边三角形，当P运动到Q处时，点F运动到G处，此时折线B-P-F-E变成线段BE，此时PA+PB+PD取得最小值BE，设正方形的面积为a²=2-$\sqrt{3}$，则EH=$\frac{a}{2}$，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，根据勾股定理得出BE²=BH²+EH²=（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²+（$\frac{a}{2}$）²=（2+$\sqrt{3}$）a²=（2+$\sqrt{3}$）（2-$\sqrt{3}$）=1，即可求得PA+PB+PD的最小值为1．

解答 解：如图所示：将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，连接BE交AC于点G，连接PF、DE，则△APF、△ADE是等边三角形，
∴PA+PB+PD=PF+PB+EF，
∵AB=AD=AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°，
∴∠AQE=∠BAC+∠ABE=60°，
∴PF∥BE，
设直线AF交BE于点G，则△AQG是等边三角形，
∴当P运动到Q处时，点F运动到G处，此时折线B-P-F-E变成线段BE，
∴PA+PB+PD=PF+PB+EF≥BE，
即P运动到Q处PA+PB+PD取得最小值BE，
设正方形的面积为a²=2-$\sqrt{3}$，则EH=$\frac{a}{2}$，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴BE²=BH²+EH²=（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²+（$\frac{a}{2}$）²=（2+$\sqrt{3}$）a²=（2+$\sqrt{3}$）（2-$\sqrt{3}$）=1，
∴PA+PB+PD的最小值为1．
故答案为1．

点评 本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短是解题的关键．