Question

（2013•松北区一模）如图，平面直角坐标系中O为坐标原点，直线y=

3

4

x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为OA中点；
（1）求直线BC解析式；
（2）动点P从O出发以每秒2个单位长度的速度沿线段OA向终点A运动，同时动点Q从C出发沿线段CB以每秒

13

2

个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作QM∥AB交x轴于点M，若线段PM的长为y，点P运动时间为t（s），求y于t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，以PC为直径作⊙N，求t为何值时直线QM与⊙N相切．

Answer 1

分析：（1）先根据直线y=

3

4

x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点求出AB两点的坐标，再由点C是OB的中点求出C点坐标，利用待定系数法及可求出直线BC的解析式；
（2）由QM∥AB可知

CM

AC

=

CQ

CB

，再由点Q从C出发沿线段CB以每秒

13

2

个单位长度的速度向终点B运动可知CQ=

13 t

2

可用t表示出CM的长，再由C（-4，0）可知-4-x_M=t，再由x_P=-2t，PM=x_P-x_M=-2t-（-4-t）即可得出结论；
（3）过N点作NH⊥MQ交直线MQ于H点，根据N为PC的中点可知x_N=

-4-2t

2

=-2-t，故可得出MN的长，再根据MQ∥AB可知∠QMC=∠BAO，由sin∠QMC=sin∠BAO=

3

5

可知NH=2×

3

5

=

6

5

，所以PC=|-2t+4|，由此即可得出结论．

解答：解：（1）∵y=

3

4

x+6，
∴x=0时，y=6；y=0时，x=-8，
∴B（0，6），A（-8，0），
∵C为OA中点，
∴C（-4，0），
设BC：y=kx+b，
∴-4k+b=0，b=6，
∴k=

3

2

，
∴y=

3

2

x+6；

（2）∵QM∥AB，
∴

CM

AC

=

CQ

CB

，
∴

CM

4

=

13 t 2

2 13

，
∴CM=t，
∴-4-x_M=t，
∴x_M=-4-t，
∵x_P=-2t，
∴0＜t＜4＜时，PM=x_P-x_M=-2t-（-4-t）=-t+4，
∴y=-t+4（0＜t＜4）；

（3）过N点作NH⊥MQ交直线MQ于H点．
∵N为PC的中点，
∴x_N=

-4-2t

2

=-2-t，
∴MN=-2-t-（-4-t）=2，
∵MQ∥AB，
∴∠QMC=∠BAO，
∴sin∠QMC=sin∠BAO=

3

5

，
∴NH=2×

3

5

=

6

5

，
∵PC=|-2t+4|，
∴|-2t+4|=2×

6

5

=

12

5

，解得，t=

4

5

或t=

16

5

．
综上，t=

4

5

或t=

16

5

时，直线QM与⊙N相切．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、平行线分线段成比例定理及锐角三角函数的定义等知识，难度适中．