Question

2．解方程：（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=3．

Answer 1

分析 首先整理方程得出（x²+5x+4）（x²+5x+6）=3，设y=x²+5x，代换求得方程的解即可．

解答 解：（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=3，
（x²+5x+4）（x²+5x+6）=3，
设y=x²+5x，
（y+4）（y+6）=3
解得：y=7，y=3，
当y=7时，
x²+5x=7，
x₁=$\frac{-5+\sqrt{53}}{2}$，x₂=$\frac{-5-\sqrt{53}}{2}$；
当y=3时，x²+5x=3，
x₁=$\frac{-5+\sqrt{37}}{2}$，x₂=$\frac{-5-\sqrt{37}}{2}$；
∴原方程的解为x₁=$\frac{-5+\sqrt{53}}{2}$，x₂=$\frac{-5-\sqrt{53}}{2}$，x₃=$\frac{-5+\sqrt{37}}{2}$，x₄=$\frac{-5-\sqrt{37}}{2}$．

点评 本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．