Question

6．甲、乙两车分别从相距480千米的A、B两地出发，匀速相向行驶，乙车比甲车先出发1小时，从B地直达A地．甲车出发t小时两车相遇后甲车停留1小时，因有事按原路返回A地，两车同时到达A地．从甲车出发时开始计时，时间为x（时），甲、乙两车距B地的路程y（千米）与x（时）之间的函数关系如图所示
（1）乙车的速度是60千米/时，t=3．
（2）求甲车距B地路程y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距30千米．

Answer 1

分析 （1）由速度=路程÷时间可算出乙车的速度，根据在整个行驶的过程中甲为匀速运动（中间停留除外），可知甲返回A地时间与出发时间相同，由此得出关于时间t的一元一次方程，解方程即可得出t的值；
（2）分别设出各线段的函数关系式，代入端点坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（3）根据乙车的速度得出乙车距B地路程y与x之间的函数关系式，结合（2）中的关系式分段讨论，由两车的距离差为30得出关于x的一元一次方程，解方程得出x的值，由于是求乙车出发的时间，故在x值上+1即可得出结论．

解答 解：（1）乙车的速度为60÷1=60（千米/时），
∵甲车的速度不变，
∴甲车返回的时间也为t小时，
∴有t+1+t=（480-60）÷60，
解得：t=3．
故答案为：60；3．
（2）根据题意，得：甲出发3小时时，与B地的距离为3×60+60=240；
甲出发7小时后，与乙一同到B地．
当0≤x≤3时，设所求函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{b=480}\\{3k+b=240}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-80}\\{b=480}\end{array}\right.$．
∴y=-80x+480；
当3＜x≤4时，y=240；
当4＜x≤7时，设所求函数关系式为y=mx+n，
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=240}\\{7m+n=480}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=80}\\{n=-80}\end{array}\right.$．
∴y=80x-80．
综上可知：甲车距B地路程y与x之间的函数关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{-80x+480（0≤x≤3）}\\{240（3＜x≤4）}\\{80x-80（4＜x≤7）}\end{array}\right.$．
（3）乙车距B地路程y与x之间的函数关系式为y=60（x+1）=60x+60，
当0≤x≤3时，-80x+480-60x-60=30，
解得：x=$\frac{39}{14}$，x+1=$\frac{53}{14}$；
当3＜x≤4时，60x+60-240=30，
解得：x=$\frac{7}{2}$，x+1=$\frac{9}{2}$；
当4＜x≤7时，60x+60-80x+80=30，
解得：x=$\frac{11}{2}$，x+1=$\frac{13}{2}$．
综上可知：乙车出发$\frac{53}{14}$、$\frac{9}{2}$和$\frac{13}{2}$小时时两车相距30千米．

点评 本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）找出关于时间t的一元一次方程；（2）利用待定系数法分段求函数的解析式；（3）根据数量关系得出关于x的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．