Question

16．如图1，直线y=-$\frac{1}{2}$x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y=x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点A出发沿射线AO方向点作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．
（1）求出点C的坐标．
（2）若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ对应的函数关系式．
（3）在X轴上是否存在点P，使得△PAC的面积为8？若存在，请求出P的坐标；若不存在请说明理由．
（4）若△OQC是等腰三角形，请求出t的值．

Answer 1

分析 （1）解两函数解析式组成的方程组即可；
（2）求出Q的坐标，设出解析式，把Q、C的坐标代入求出即可；
（3）过C作CM⊥OA于M，根据三角形的面积公式解答即可；
（4）分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可

解答 解：（1）∵由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C（2，2）；
（2）如图1：

令$-\frac{1}{2}x+3=0$，得x=6，A（6，0）
由题意：Q（3，0），
设直线CQ的解析式是y=kx+b，
把C（2，2），Q（3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=6，y=-2x+6；
（3）如图2：

∵C（2，2），过C作CM⊥OA于M，
∵C（2，2），
∴CM=2，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$CMⅹPA=$\frac{1}{2}$ⅹ2ⅹPA=8，
∴PA=8，
∴P的坐标为（-2，0）或（14，0）．
（4）①、CO为底时，Q为顶点时，如图3，

当∠COQ=45°，CQ=OQ，
∵C（2，2），
∴OQ=CQ=2，
∴AQ=OA-OQ=6-2=4，
②CO为腰时，C为顶点时，如图4，过C作CM⊥OA于M，

∵C（2，2），
∴CM=OM=2，
∴QM=OM=2，
∴AQ=OA-OQ=2，即t的值为2
③CO为底时，O为顶点时，如图5：

OQ=OC=$2\sqrt{2}$，
AQ=AO-OQ=6-$2\sqrt{2}$或AQ=AO+OQ=6+$2\sqrt{2}$．
故答案为：t的值为2或4或6-$2\sqrt{2}$或6+$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，三角形的面积，等腰直角三角形等知识点的应用，题目是一道比较典型的题目，综合性比较强．