Question

7．已知关于x的方程$\frac{1}{4}$x²-（m-2）x+m²=0．
（1）若有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若有两个相等的实数根，求m的值，并求此时方程的根；
（3）若没有实数根，求m的最小整数值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=（m-2）²-4•$\frac{1}{4}$m²=-4m+4＞0，解不等式求出m的取值范围即可；
（2）根据方程有两个相等的实数根可得△=（m-2）²-4•$\frac{1}{4}$m²=-4m+4=0，解m的一元一次方程，求出m的值，进而求出方程的根；
（3）根据方程没有实数根可得△=（m-2）²-4•$\frac{1}{4}$m²=-4m+4＜0，求出m的取值范围，进而得到m的最小整数值．

解答 解：（1）∵关于x的方程$\frac{1}{4}$x²-（m-2）x+m²=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴△=（m-2）²-4•$\frac{1}{4}$m²=-4m+4＞0，
∴m＜1；

（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴△=（m-2）²-4•$\frac{1}{4}$m²=-4m+4=0，
∴m=1，
∴$\frac{1}{4}$x²+x+1=0，
∴x₁=x₂=-$\frac{1}{2}$；

（3）∵方程没有实数根，
∴△＜0，
∴△=（m-2）²-4•$\frac{1}{4}$m²=-4m+4＜0，
∴m＞1，
∴m的最小整数值为2．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的解法．