Question

5．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象与边AB交于点E（4，n），AB=2．
（1）若点D为对角线OB的中点，反比例函数在第一象限内的图象又经过点D．
①求反比例函数的解析式和n的值；
②将矩形OABC折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x，y轴正半轴交于点H，G，求线段OG的长．
（2）连接EF，OE，当点F运动到什么位置时，四边形OCFE的面积最大，其最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）①由D为OB的中点，以及B坐标求出D坐标，把D代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，把E坐标代入反比例解析式求出n的值即可；
②由折叠的性质得到三角形OGH与三角形FGH全等，利用全等三角形的对应边相等得到OG=FG，由F在反比例图象上，确定出F坐标，进而求出CF的长，在三角形CFG中，设OG=FG=x，可得CG=2-x，利用勾股定理求出x的值，即为OG的长；
（2）设F（x，2），则E（4，$\frac{1}{2}$x），再由S_{四边形OCFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OAE即可得出结论．

解答 解：（1）①∵D为OB中点，B（4，2），
∴D（2，1），
把D（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$中，得1=$\frac{k}{2}$，即k=2，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$，
把E（4，n）代入反比例解析式得：n=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；
②由F（1，2），得到CF=1，
由折叠得：△OGH≌△FGH，
∴OG=FG，
∵OC=AB=2，
设OG=FG=x，得到CG=2-x，
在Rt△CFG中，由勾股定理得：FG²=CG²+CF²，即x²=（2-x）²+1，
整理得：4x=5，
解得：x=$\frac{5}{4}$，
则OG=$\frac{5}{4}$；

（2）∵设F（x，2），则E（4，$\frac{1}{2}$x），
∴S_{四边形OCFE}=8-$\frac{1}{2}$（2-$\frac{1}{2}$x）（4-x）-$\frac{1}{2}$×2x
=-$\frac{1}{4}$x2+x+4
=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+5．
∴F（2，2）时，四边形OCFE的面积最大，最大值为5．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．