Question

12．如图，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A（-2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△AOP的面积为3？若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点（0，0）和点A（-2，0）分别代入函数关系式来求b、c的值，可得二次函数的解析式；
（2）设点P的坐标为（x，-x²-2x）．利用三角形的面积公式得到-x²-2x=±3．通过解方程来求x的值，则易求点P的坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过坐标原点（0，0）
∴c=0                             
又∵二次函数y=-x²+bx+c的图象过点A（-2，0）
∴-（-2）²-2b+0=0，
∴b=-2，
∴所求b、c值分别为-2，0
∴y=-x²-2x，

（2）存在一点P，满足S_△AOP=3．
设点P的坐标为（x，-x²-2x）
∵S_△AOP=3
∴$\frac{1}{2}×2×$|-x²-2x|=3
∴-x²-2x=±3
当-x²-2x=3时，此方程无解；
当-x²-2x=-3时，解得x₁=-3，x₂=1，
∴点P的坐标为：（-3，-3）或（1，-3）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点和利用待定系数法来求抛物线的解析式，设点P的坐标为（x，-x²-2x）是解答此题的关键．