Question

如图，已知c＜0，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点（x₂＞x₁），与y轴交于点C．
（1）若x₂=1，BC=

5

，求函数y=x²+bx+c的最小值；
（2）过点A作AP⊥BC，垂足为P（点P在线段BC上），AP交y轴于点M．若

OA

OM

=2，求抛物线y=x²+bx+c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）根据勾股定理求得C点的坐标，把B、C点坐标代入y=x²+bx+c即可求得解析式，转化成顶点式即可．
（2）根据△AOM∽△COB，得到OC=2OB，即：-c=2x₂；利用x₂²+bx₂+c=0，求得c=2b-4；将此关系式代入抛物线的顶点坐标，即可求得所求之关系式．

解答：解：（1）∵x₂=1，
∴OB=1，
∵BC=

5

，
∴OC=

BC2-OB2

=2，
∴C（0，-2），
把B（1，0），C（0，-2）代入y=x²+bx+c，得：0=1+b-2，
解得：b=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²+x+-2．
转化为y=（x+

1

2

）²-

9

4

；
∴函数y=x²+bx+c的最小值为-

9

4

．

（2）∵∠OAM+∠OBC=90°，∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OAM=∠OCB，又∵∠AOM=∠BOC=90°，
∴△AOM∽△COB，
∴

OA

OC

=

OM

OB

，
∴OC=

OA

OM

•OB=2OB，
∵c＜0，x₂＞0，
∴-c=2x₂，即x₂=-

c

2

．
∵x₂²+bx₂+c=0，将x₂=-

c

2

代入化简得：c=2b-4．
抛物线的解析式为：y=x²+bx+c，其顶点坐标为（-

b

2

，

4c-b2

4

）．
令x=-

b

2

，则b=-2x．
y=

4c-b2

4

=c-

b2

4

=2b-4-

b2

4

=-4x-4-x²，
满足点P在线段BC上的x最小取值，使P、C、M重合，

此时C（0，c），B（-

c

2

，0），A（2c，0），
根据根与系数的关系，对于x²+bx+c=0，
-b=-

c

2

+2c=

3

2

c，
由c=2b-4．解得c=-1，
所以b=-

3

2

c=

3

2

，
x=-

b

2

=-

3

4

；
所以自变量x的取值范围．x≥-

3

4

∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为：y=-x²-4x-4（x≥-

3

4

）．

点评：本题考查了勾股定理、待定系数法求解析式、三角形相似的判定及性质以及抛物线的顶点坐标的求法等．