Question

16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理得MN=$\frac{1}{2}$AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=$\frac{1}{2}$AC，由此即可证明．
（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN²=BM²+MN²即可解决问题．

解答 （1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，MN=$\frac{1}{2}$AD，
在RT△ABC中，∵M是AC中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=AD，
∴MN=BM．
（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）可知，BM=$\frac{1}{2}$AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，
∵MN∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴BN²=BM²+MN²，
由（1）可知MN=BM=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴BN=$\sqrt{2}$

点评 本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．