Question

8．在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，再将线段BD平移到EF，使点E在AB上，点F在AC上． 
（1）如图1，直接写出∠ABD和∠CFE的度数；  
（2）图1中：AE和CF有什么数量关系？请说明理由； 
（3）如图2，连接CE，判断△CEF的形状并加说明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋转可得到∠DBC=60°，再利用等腰三角形的性质可求得∠ABC，可求得∠ABD，利用平移可得到∠AEF=∠ABD，在△AEF中利用外角的性质可求得∠CFE；
（2）连接CD、DF，可证明四边形BDFE为平行四边形，可证得EF=BD=CD，再结合条件可求得∠A=∠CFD，∠AEF=∠ACD，可证明△AEF≌△FCD，可证明AE=CF；
（3）过点E作EG⊥CF于G，可证明G为CF的中点，从而可证得EF=EC，可得△CEF为等腰直角三角形．

解答 解：
（1）∵线段BC逆时针旋转旋转60°得到BD，
∴∠CBD=60°，
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°，
∵BD平移得到EF，
∴EF∥BD，
∴∠AEF=∠ABD=15°，
∵∠A=30°，
∴∠CFE=∠A+∠AEF=30°+15°=45°；
（2）AE=CF．
理由：如图1，连结CD、DF，

∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，
∴BD=BC，∠CBD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD=BD，
∵线段BD平移到EF，
∴EF∥BD，EF=BD，
∴四边形BDFE是平行四边形，EF=CD，
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=15°=∠ACD，
∴∠DFE=∠ABD=15°，∠AEF=∠ABD=15°，
∴∠AEF=∠ACD=15°，
∵∠CFE=∠A+∠AEF=30°+15°=45°，
∴∠CFD=∠CFE-∠DFE=45°-15°=30°，
∴∠A=∠CFD=30°，
在△AEF和△FCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠ACD}\\{∠A=∠CFD}\\{EF=CD}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△FCD（AAS），
∴ΑE=CF；
（3）△CEF是等腰直角三角，
理由如下：
如图2，过点E作EG⊥CF于G，

∵∠CFE=45°，
∴∠FEG=45°，
∴EG=FG，
∵∠A=30°，∠AGE=90°，
∴EG=$\frac{1}{2}$AE，
∵ΑE=CF，
∴EG=$\frac{1}{2}$CF，
∴FG=$\frac{1}{2}$CF，
∴G为CF的中点，
∴EG为CF的垂直平分线，
∴EF=EC，
∴∠CEF=2∠FEG=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质及直角三角形的判定等．在（2）中构造三角形全等是解题的关键，在（3）中证得G为CF的中点是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度很大．