Question

17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，二次函数y=x²图象从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短，并求出二次函数的表达式；
（3）当线段PB最短时，二次函数的图象是否过点Q（a，a-1），并说理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据题意得到顶点M（m，2m），根据平移的性质和顶点坐标得到抛物线的解析式为y=（x-m）²+2m，把x=2代入解析式求得P的纵坐标，即可求得PB=m²-2m+4=（m-1）²+3（0≤m≤2），根据二次函数的性质得出当m=1时，PB最短，即可求得当PB最短时，抛物线的解析式为y=（x-1）²+2；
（3）若二次函数的图象是过点Q（a，a-1），代入解析式得到方程a-1=（a-1）²+2，由于△＜0，此方程无解，说明此二次函数的图象不过点Q．

解答 解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，解得k=2，
∴线段OA所在直线的函数解析式为y=2x；
（2）∵顶点M的横坐标为m，且在OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2），
∴M（m，2m），
∴抛物线的解析式为y=（x-m）²+2m，
∴当x=2时，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2），
∴PB=m²-2m+4=（m-1）²+3（0≤m≤2），
∴当m=1时，PB最短，
当PB最短时，抛物线的解析式为y=（x-1）²+2；
（3）若二次函数的图象是过点Q（a，a-1）
则方程a-1=（a-1）²+2有解．
即方程a²-3a+4=0有解，
∵△=（-3）²-4×1×4=-7＜0．
∴二次函数的图象不过点Q．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值，一元二次方程的解以及二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的性质是解题的关键．