Question

9．已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AC=AD．（用两种不同的判定方法）

Answer 1

分析 △ABD与△ABC有一条公共边AB，∠1=∠2，要证明△ABD≌△ABC，只需证∠ABD=∠ABC或∠D=∠C．

解答 解：方法一：
∵∠3=∠4（已知）
∴∠ABD=180°-∠3
∠ABC=180°-∠4（邻补角定义）
∴∠ABD=∠ABC（等角的补角相等）
在△ABD和△ABC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2（已知）}\\{AB=AB（公共边）}\\{∠ABC=∠ABD（已证）}\end{array}\right.$
△ABD≌△ABC（ASA）
∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）
方法二：
∵∠3=∠4，∠1=∠2（已知）  
∠3=∠1+∠D
∠4=∠2+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠D=∠C
在△ABD和△ABC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2（已知）}\\{∠D=∠C（已证）}\\{AB=AB（公共边）}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ABC（AAS）
∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质．证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等．全等三角形的对应边相等．