已知直线y1=x+b与抛物线y2=-x2+ax+c的一个交点为(2.3).且x=1为该抛物线的对称轴．(1)求直线y1=x+b的解析式和抛物线y2=-x2+ax+c的顶点坐标,(2)在给出的坐标系中画出直线y1=x+b及抛物线y2=-x2+ax+c的图象.并根据图象.直接写出使得y1≤y2的取值范围,(3)设抛物线于x轴的右边交点为A.过点A作x轴的垂线.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

已知直线y₁=x+b与抛物线y₂=-x²+ax+c的一个交点为（2，3），且x=1为该抛物线的对称轴．
（1）求直线y₁=x+b的解析式和抛物线y₂=-x²+ax+c的顶点坐标；
（2）在给出的坐标系中画出直线y₁=x+b及抛物线y₂=-x²+ax+c的图象，并根据图象，直接写出使得y₁≤y₂的取值范围；
（3）设抛物线于x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y₁=x+b于点B，点P在抛物线上，当S_△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．

分析（1）把交点坐标代入直线解析式求出b的值，确定出直线解析式，把交点坐标代入抛物线解析式得到a与c的关系式，再利用对称轴公式求出a的值，进而求出c的值，确定出抛物线解析式，求出顶点坐标即可；
（2）画出两函数图象，利用图象找出使得y₁≤y₂的x取值范围即可；
（3）根据题意确定出A与B坐标，求出AB的长，表示出AB边上的高，进而表示出三角形ABP面积，根据三角形ABP面积小于等于6求出x的范围即可．

解答解：（1）∵直线y₁=x+b与抛物线y₂=-x²+ax+c的一个交点为（2，3），
∴把交点（2，3）代入y₁=x+b，得：3=2+b，即b=1，
∴直线解析式为y₁=x+1；
把交点坐标（2，3）代入抛物线y₂=-x²+ax+c得：-4+2a+c=3；
由对称轴为直线x=1，得到-$\frac{a}{2×（-1）}$=1，即a=2，
把a=2代入得：c=3，
∴抛物线y₂=-x²+2x+3，
则抛物线顶点坐标为（1，4）；
（2）令y₂=-x²+2x+3=0，解得：x₁=3，x₂=-1，
∴抛物线与x轴交点坐标为（3，0）和（-1，0），
画出函数图象，如图所示：

根据图象可得使得y₁≤y₂的x范围为-1≤x≤2；
（3）由（2）可得A（3，0），
令x=3，得到y₁=3+1=4，即B（3，4），即AB=4，
设P横坐标为x，S_△PAB的高为|3-x|，底为AB=4，
由S_△PAB≤6，得到$\frac{1}{2}$•|3-x|•4=2|3-x|≤6，
当3-x≥0，即x≤3时，不等式变形得：3-x≤3，
解得：x≥0，此时x范围为0≤x≤3；
当3-x＜0，即x＞3时，不等式变形得：x-3≤3，
解得：x≤6，
此时x的范围为3＜x≤6，
综上，x的范围为0≤x≤6．