Question

20．如图所示，广场有一纪念碑，其正前方恰有一个高度为15米的临时观侧台ED，从观测台顶端E处侧得纪念碑顶端A的仰角a是45°，观测台底端D到纪念碑底座边沿C的距离DC是20米，底座BC部分的坡长是12米，其坡度i=1：$\sqrt{3}$，求该纪念碑的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{2}≈1.41$，$\sqrt{3}≈1.73$，$\sqrt{6}≈2.45$）

Answer 1

分析 延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=$\sqrt{3}$x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6$\sqrt{3}$米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6$\sqrt{3}$+20（米），即可得出纪念碑AB的高度．

解答 解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH=DE=15米，EG=DH，
∵梯坎坡度i=1：$\sqrt{3}$，
∴BH：CH=1：$\sqrt{3}$，
设BH=x米，则CH=$\sqrt{3}$x米，
在Rt△BCH中，BC=12米，
由勾股定理得：x²+（$\sqrt{3}$x）²=12²，
解得：x=6，
∴BH=6米，CH=6$\sqrt{3}$米，
∴BG=GH-BH=15-6=9（米），EG=DH=CH+CD=6$\sqrt{3}$+20（米），
∵∠α=45°，
∴∠EAG=90°-45°=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG=EG=6$\sqrt{3}$+20（米），
∴AB=AG+BG=6$\sqrt{3}$+20+9≈39.4（米）；
答：纪念碑的高度是39.4米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．