Question

11．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于A、B两点，若A点的纵坐标为-2．
（1）求反比例函数的解析式和点B坐标；
（2）根据图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若C是双曲线上的动点，D是x轴上的动点，是否存在这样的点C和点D，使以A、B、CD为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出C、D坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把y=-2代入y=2x中求出x的值，确定出A坐标，利用对称性确定出B坐标，把A点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）以A，B的横坐标及0，把x轴分为四个范围，找出正比例函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可；
（3）存在这样的点C和点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，分两种情况考虑：（i）根据平移规律及AC∥BD，AC=BD得：点B先向下平移两个单位，则A也向下平移两个单位，得出C的纵坐标，代入反比例解析式求出C横坐标，确定出C坐标，得到A平移到C的路径，进而确定出B平移到D的路径，求出D坐标；（ii）同理得到C′与D′坐标即可．

解答 解：（1）把y=-2代入y=2x得：x=-1，即A（-1，-2），
由对称性得：B（1，2），
把A（-1，-2）代入反比例解析式得：k=2，
则反比例解析式为y=$\frac{2}{x}$，B（1，2）；
（2）由图象得：-1＜x＜0或x＞1时，正比例函数值大于反比例函数值；
（3）存在这样的点C和点D，使以A、B、CD为顶点的四边形是平行四边形，
如图所示，分两种情况考虑：
（i）根据平移规律及AC∥BD，AC=BD得：点B先向下平移两个单位，则A也向下平移两个单位，
∴C纵坐标为为-4，
把y=-4代入反比例解析式得：x=-$\frac{1}{2}$，即C（-$\frac{1}{2}$，-4），即C是由A先向下平移两个单位，再向左平移$\frac{1}{2}$个单位，
∴D是由B先向下平移两个单位，再向左平移$\frac{1}{2}$个单位，即D（$\frac{3}{2}$，0）；
（ii）同理C′（$\frac{1}{2}$，4），D′（-$\frac{3}{2}$，0），
综上，存在这样的点C和点D，使以A、B、CD为顶点的四边形是平行四边形，此时C（-$\frac{1}{2}$，-4）、D（$\frac{3}{2}$，0）或C（$\frac{1}{2}$，4）、D（-$\frac{3}{2}$，0）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与反比例函数的交点坐标，以及平移的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握平移的性质是解本题的关键．