在平面直角坐标系中.已知点B.A(m.0)以AB为边在x轴下方作正方形ABCD.连结OD.过B作BE垂直于OD于E.与AD相交于点F．(1)求证:BF=DO,(2)如果OE=DE.试求经过B.O.F三点的抛物线y=a(x-x1)(x-x2)中a的值,的条件下.在x轴上是否存在点P.使该点关于直线BE的对称点在抛物线上?若存在.请直接写出所有这样的点P的坐标,若不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

在平面直角坐标系中，已知点B（-2$\sqrt{2}$，0），A（m，0）（$-\sqrt{2}＜m＜0$）以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，连结OD，过B作BE垂直于OD于E，与AD相交于点F．
（1）求证：BF=DO；
（2）如果OE=DE，试求经过B、O、F三点的抛物线y=a（x-x₁）（x-x₂）中a的值；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使该点关于直线BE的对称点在抛物线上？若存在，请直接写出所有这样的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）先由正方形的性质得AB=AD，∠BAF=∠DAO=90°，再利用等角的余角相等得到∠OBE=∠ADO，则可利用“ASA”判定△ABF≌△ADO，所以BF=DO；
（2）由△ABF≌△ADO得到AO=AF，再根据线段垂直平分线的性质得BD=BO=2$\sqrt{2}$，接着根据正方形的性质可计算出AB=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=2，则OA=OB-AB=2$\sqrt{2}$-2=AF，所以F（2-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），然后设交点式y=ax（x+2$\sqrt{2}$），再把F（2-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）代入可求出a的值$\frac{1}{2}$；
（3）假定在抛物线上存在一点P，使点P 关于直线BE 的对称点P′在x 轴上，由于BE 是∠OBD 的平分线，则x轴和直线BD关于直线BE对称，所以点P 是抛物线与直线BD 的交点，接着利用待定系数法求出直线BD 的解析表达式为y=-x-2$\sqrt{2}$，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\sqrt{2}x}\\{y=-x-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$得P′点的坐标为（-2$\sqrt{2}$，0），（-2，2-2$\sqrt{2}$），当P′点的坐标为（-2$\sqrt{2}$，0）时，易得P点坐标为（-2$\sqrt{2}$，0）；当P′点的坐标为（-2，2-2$\sqrt{2}$）时，根据两点间的距离公式计算出BP′=4-2$\sqrt{2}$，则BP=BP′=4-2$\sqrt{2}$，OP=4$\sqrt{2}$-4，易得此时P点坐标为（4-4$\sqrt{2}$，0）．

解答（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠DAO=90°，
∵∠OBE+∠BOE=90°，∠ADO+∠AOD=90°，
∴∠OBE=∠ADO，
在△ABF和△ADO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠ADO}\\{AB=AD}\\{∠BAF=∠DAO}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADO，
∴BF=DO；
（2）解：∵△ABF≌△ADO，
∵AO=AF，
∵BE⊥OD，OE=DE，即BE垂直平分OD，
∴BD=BO=2$\sqrt{2}$，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴AB=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=2，
∴OA=OB-AB=2$\sqrt{2}$-2，
∴AF=OA=2$\sqrt{2}$-2，
∴F（2-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），
设经过B、O、F三点的抛物线解析式为y=ax（x+2$\sqrt{2}$），
把F（2-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）代入得（2-2$\sqrt{2}$）（2-2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$）=2-2$\sqrt{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$；
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x（x+2$\sqrt{2}$），即y=$\frac{1}{2}$x²+$\sqrt{2}$x，
（3 ）解：存在．
假定在抛物线上存在一点P，使点P 关于直线BE 的对称点P′在x 轴上．
∵BD=BO，BE⊥OD，
∴BE 是∠OBD 的平分线，
∴x轴和直线BD关于直线BE对称，
∴x 轴上的点P关于直线BE 的对称点P′必在直线BD 上，即点P 是抛物线与直线BD 的交点，如图，
设直线BD 的解析表达式为y=kx+b，
把B（-2$\sqrt{2}$，0），D（2-2$\sqrt{2}$，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}k+b=0}\\{（2-2\sqrt{2}）k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BD 的解析表达式为y=-x-2$\sqrt{2}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\sqrt{2}x}\\{y=-x-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，则P′点的坐标为（-2$\sqrt{2}$，0），（-2，2-2$\sqrt{2}$），
当P′点的坐标为（-2$\sqrt{2}$，0）时，点P在B点，此时P点坐标为（-2$\sqrt{2}$，0）；
P′点的坐标为（-2，2-2$\sqrt{2}$）时，BP′=$\sqrt{（-2\sqrt{2}+2）^{2}+（-2+2\sqrt{2}）^{2}}$=4-2$\sqrt{2}$，则BP=OP=4-2$\sqrt{2}$，OP=2$\sqrt{2}$-（4-2$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-4，此时P点坐标为（4-4$\sqrt{2}$，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（-2$\sqrt{2}$，0），（4-4$\sqrt{2}$，0）．