Question

11．操作与探究
综合实践课，老师把一个足够大的等腰直角三角尺AMN靠在一个正方形纸片ABCD的一侧，使边AM与AD在同
一直线上（如图1），其中∠AMN=90°，AM=MN．
（1）猜想发现
老师将三角尺AMN绕点A逆时针旋转α．如图2，当0＜α＜45°时，边AM，AN分别与直线BC，CD交于点E，F，连结EF．小明同学探究发现，线段EF，BE，DF满足EF=BE-DF；如图3，当45°＜α＜90°时，其它条件不变．
①填空：∠DAF+∠BAE=45度；
②猜想：线段EF，BE，DF三者之间的数量关系是：EF=BE+DF．
（2）证明你的猜想；
（3）拓展探究
在45°＜α＜90°的情形下，连结BD，分别交AM，AN于点G，H，如图4连结EH，试证明：EH⊥AN．

Answer 1

分析 （1）①由全等三角形的性质即可得出结论；             
②由全等三角形的性质即可得出答案；
（2）延长CB至点K，使BK=DF，连结AK，由SAS证明△ABK≌△ADF，得出AK=AF，∠BAK=∠DAF．由等腰直角三角形的性质得出∠MAN=∠N=45°，即可证出∠DAF+∠BAE=45°．证出∠EAF=∠EAK．由SAS证明△AEF≌△AEK，得出EF=EK．即可得出EF=BE+DF．
（3）连结AC．证明△ADH∽△ACE．得出$\frac{AD}{AH}=\frac{AC}{AE}$，再证明△ADC∽△AHE．得出∠ADC=∠AHE=90°．即可得出结论．

解答 （1）解：①∠DAF+∠BAE=45°；
故答案为：45；             
②线段EF，BE，DF三者之间的数量关系是EF=BE+DF；
故答案为：EF=BE+DF；
（2）证明：如图3，延长CB至点K，使BK=DF，连结AK．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABK=∠D=90°．
在△ABK和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ABK=∠D}&{\;}\\{BK=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABK≌△ADF（SAS），
∴AK=AF，∠BAK=∠DAF．
∵∠AMN=90°，AM=MN，
∴∠MAN=∠N=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°．
∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=45°，
∴∠EAF=∠EAK．
在△AEF和△AEK中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AK}&{\;}\\{∠EAF=∠EAK}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEK（SAS）．
∴EF=EK．
∴EF=BE+DF．
（3）证明：如图4，连结AC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACE=∠ADH=∠CAD=45°．
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠CAD=45°．
∴∠CAE=∠DAH，
∴△ADH∽△ACE．
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AH}{AE}$．
∴$\frac{AD}{AH}=\frac{AC}{AE}$，
又∵∠CAD=∠EAF=45°，
∴△ADC∽△AHE．
∴∠ADC=∠AHE=90°．
∴EH⊥AN．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．