Question

6．如图①，平行四边形纸条ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，请观察从图①到图②的操作过程，并按要求解答下列问题．

（1）在图①中，有多少个平行四边形（平行四边形ABCD除外），并选择其中一个给予证明；
（2）从图②中可看出，沿EF对折后，D与B重合，试问平行四边形ABCD除一般平行四边形所应有的性质外，它还具备有什么特有性质？（不必说明理由）；
（3）在图②中，若再沿AF对折，要使点E与点B（或D）重合，那么平行四边形ABCD还应增加什么条件？请合情合理地说明之．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，由中点的定义得出AE=DE=BF=CF，即可得出结论；
（2）由折叠的性质得：EF⊥BD，由平行四边形的性质得出AB∥EF∥CD，即可得出BD⊥CD，BD⊥AB；
（3）由折叠的性质得出AE=AB，由AD=2AE，即可得出AD=2AB．

解答 解：（1）有3个平行四边形（平行四边形ABCD除外），平行四边形ABFE、平行四边形CDEF、平行四边形AFCE；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD，BF=CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=DE=BF=CF，
∴四边形ABFE、四边形CDEF、四边形AFCE是平行四边形；
（2）平行四边形ABCD还具备EF⊥BD，BD⊥CD，BD⊥AB的性质；理由如下：
∵沿EF对折后，D与B重合，
∴由折叠的性质得：EF⊥BD，
∵四边形ABFE、四边形CDEF是平行四边形，
∴AB∥EF∥CD，
∴BD⊥CD，BD⊥AB；
（3）还需要增加条件AD=2AB；理由如下：
∵沿AF对折，使点E与点B（或D）重合，即B与E关于AF对称，
则AE=AB，
∵AD=2AE，
∴AD=2AB．

点评 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、中点的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．