Question

在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AC、DE交于点O，四边形ADCE的面积为16

3

，CD=4，求∠AOD的度数；
（3）当△ABC满足什么条件时，矩形ADCE是正方形，并说明理由．

Answer 1

考点：矩形的判定,平行四边形的性质,正方形的判定

专题：

分析：（1）已知四边形ABDE是平行四边形，只需证得它的一个内角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得∠ADC是直角，由此得证；
（2）根据矩形的性质得出AD的长度，进而得出∠DAC=30°即可求出答案；
（3）当满足条件AC=BC，证明CD⊥AB且相等即可．

解答：证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD．
∵D为BC中点，
∴CD=BD．
∴CD∥AE，CD=AE．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；

（2）解：∵平行四边形ADCE是矩形，四边形ADCE的面积为16

3

，CD=4，
∴AD•CD=4AD=16

3

，DO=AO=CO=EO，
解得：AD=4

3

，
∴tan∠DAC=

CD

AD

=

4

4 3

=

3

3

，
∴∠DAC=30°，
∴∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°．

（3）当满足条件AC=BC．
证明：∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90°．
∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，
∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．
∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）

点评：本题主要考查正方形的判定、菱形的判定与性质和勾股定理等知识点，此题是道综合体，有一定的难度，解答的关键还是要能熟练掌握各种四边形的基本性质．