Question

5．如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D
（1）求证：△EAC∽△ECB；
（2）若DF=AF，求AC：BC的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形、∠ECA=∠D可得∠ECA=∠B，∠E为公共角可得△EAC∽△ECB；
（2）由CD∥AE、DF=AF可得CD=AE，进而有BE=2AE，根据△EAC∽△ECB得$C{E}^{2}=AE•BE=\frac{1}{2}B{E}^{2}$，即：$\frac{CE}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECA=∠D，
∴∠ECA=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△ECB；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，即：CD∥AE
∴$\frac{CD}{AE}=\frac{DF}{AF}$，
∵DF=AF
∴CD=AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AE=AB，
∴BE=2AE，
∵△EAC∽△ECB，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{CE}{BE}=\frac{AC}{BC}$，
∴$C{E}^{2}=AE•BE=\frac{1}{2}B{E}^{2}$，即：$\frac{CE}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似形的对应边成比例和平行四边形的性质是关键．