Question

13．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：AP=CQ；
（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4，证出∠ADP=∠CDQ，由ASA证明△APD≌△CQD，得出对应边相等即可；
（2）由全等三角形的性质得出PD=QD，证出∠PDE=∠QDE，由SAS证明△PDE≌△QDE，得出对应边相等即可；
（3）由（2）和（1）得出PE=QE，CQ=AP=1，求出BQ=BC+CQ=5，BP=AB-AP=3，设PE=QE=x，则BE=5-x，在Rt△BPE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4，
∵∠PDQ=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△APD和△CQD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCQ}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\\{∠ADP=∠CDQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CQD（ASA），
∴AP=CQ；
（2）解；PE=QE，理由如下：
由（1）得：△APD≌△CQD，
∴PD=QD，
∵DE平分∠PDQ，
∴∠PDE=∠QDE，
在△PDE和△QDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=QD}&{\;}\\{∠PDE=∠QDE}&{\;}\\{DE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△QDE（SAS），
∴PE=QE；
（3）解：由（2）得：PE=QE，由（1）得：CQ=AP=1，
∴BQ=BC+CQ=5，BP=AB-AP=3，
设PE=QE=x，则BE=5-x，
在Rt△BPE中，由勾股定理得：3²+（5-x）²=x²，
解得：x=3.4，
即PE的长为3.4．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．