Question

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、B的坐标分别为（4，0），（2，-6），将△OAB绕AB的中点旋转180°，点O落到点C的位置，抛物线经过点O、A、C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求点C的坐标及抛物线的关系式．
（2）若点P是线段OA上一点，且PD∥AC，求点P的坐标．
（3）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据旋转的性质可求点C的坐标，再根据待定系数法可求抛物线的关系式．
（2）先根据（1）的抛物线的解析式求出顶点D的坐标，然后求出直线AC的解析式，再根据待定系数法可求直线PD的解析式，进一步得到点P的坐标．
（3）①Q₁D=AP₁=2，可得OP₁=OA-2=2，从而得到P₁点的坐标；
②OP₂=OA+AP₂=6，从而得到P₂点的坐标；
③D，Q₃两点的纵坐标互为相反数，因此Q₃点的坐标为（0，-2），根据A，D的坐标可求出P₃点的坐标．

解答：解：（1）由旋转的性质可得点C的坐标为（6，-6），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线经过点O（0，0）、A（4，0）、C（6，-6），则

c=0 16a+4b+c=0 36a+6b+c=-6

，
解得

a=- 1 2 b=2 c=0

．
抛物线解析式为y=-

1

2

x²+2x．

（2）∵y=-

1

2

x²+2x=-

1

2

（x-2）²+2，
∴顶点D的坐标为（2，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b₁，则

4k+b1=0 6k+b1=-6

，
解得

k=-3 b1=12

．
故直线AC的解析式为y=-3x+12．
∵PD∥AC，
∴设直线PD的解析式为y=-3x+b₂，
∴-3×2+b₂=2，
解得b₂=8．
故直线PD的解析式为y=-3x+8．
当y=0时，x=

8

3

，
则点P的坐标为（

8

3

，0）．


（3）

分三种情况进行讨论：
①Q₁D=AP₁=2，因此OP₁=OA-2=2，P₁点的坐标为（2，0）；
②OP₂=OA+AP₂=6，P点的坐标为（6，0）；
③D，Q₃两点的纵坐标互为相反数，因此Q₃点的坐标为（0，-2），根据A，D的坐标可求出P₃点的坐标为（-2，0）．
综上所述，共有3个符合条件的P点的坐标，即P₁（2，0），P₂（6，0），P₃（-2，0）．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式、图形旋转变换、平行四边形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．