Question

5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB、BC为边向外作正方形ABDE、BCGF，连接DF，且S_{正方形ABDE}=7，S_{正方形BCGF}=3，则△DBF的面积等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过点D作DH⊥FB，交FB延长于点H，根据正方形的性质易证△BHD≌△BCA，所以DH=AC，再由已知条件求出AC，BF的长，即可求出△DBF的面积．

解答 解：过点D作DH⊥FB，
∵以AB、BC为边向外作正方形ABDE、BCGF，
∴∠DBH+∠ABH=90°，∠ABC+∠ABH=90°，BD=AB，
∴∠ABC=∠DBH，
∵∠DHB=∠ACB=90°，
∴在△BHD和△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DHB=∠ACB=90°}\\{∠DBH=∠ABC}\\{BD=AB}\end{array}\right.$，
∴△BHD≌△BCA（AAS），
∴DH=AC，
∵S_{正方形ABDE}=7，S_{正方形BCGF}=3，
∴AB²=7，BC²=3，
∴AC²=4，BC=BF=$\sqrt{3}$，
∴AC=BH=2，
∴△DBF的面积=$\frac{1}{2}$BF•DH=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形的性质以及面积的计算，本题中正确证明△BHD≌△BCA解题的关键．