Question

12．如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是$\widehat{AB}$上的一动点（不与A、B重合），点F是$\widehat{BC}$上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论：
①$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$；
②△OGH是等腰三角形；
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；
④△GBH周长的最小值为4+$\sqrt{2}$．
其中正确的是①②（把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

分析 ①根据ASA可证△BOE≌△COF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，根据等弦对等弧得到$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$，可以判断①；
②根据SAS可证△BOG≌△COH，根据全等三角形的性质得到∠GOH=90°，OG=OH，根据等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形，可以判断②；
③通过证明△HOM≌△GON，可得四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，可以判断③；
④根据△BOG≌△COH可知BG=CH，则BG+BH=BC=4，设BG=x，则BH=4-x，根据勾股定理得到GH=$\sqrt{B{G}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（4-x）^{2}}$，可以求得其最小值，可以判断④．

解答 解：①如图所示，

∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE与△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠BOE=∠COF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$，①正确；
②∵BE=CF，
∴△BOG≌△COH；
∵∠BOG=∠COH，∠COH+∠OBF=90°，
∴∠GOH=90°，OG=OH，
∴△OGH是等腰直角三角形，②正确．
③如图所示，

∵△HOM≌△GON，
∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误；
④∵△BOG≌△COH，
∴BG=CH，
∴BG+BH=BC=4，
设BG=x，则BH=4-x，
则GH=$\sqrt{B{G}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（4-x）^{2}}$，
∴其最小值为4+2$\sqrt{2}$，D错误．
故答案为：①②．

点评 考查了圆的综合题，关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，等弦对等弧，等腰直角三角形的判定，勾股定理，面积的计算，综合性较强，有一定的难度．