Question

6．如图，A、B在x轴上，直线PA：y=x+1与直线PB：y=-2x+m（m＞1）交于P．
（1）用m表示出B、P两点的坐标；
（2）若点Q是PA与y轴的交点，且四边形PQOB的面积是$\frac{5}{6}$，试求出P点的坐标，并求出直线PB的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的坐标特征确定A点坐标为（-1，0），Q点坐标为（0，1），B点坐标为（$\frac{m}{2}$，0），再根据两直线相交的问题解方程组，得P点坐标；
（2）根据四边形PQOB的面积=S_△PAB-S_△QAO和三角形面积公式得到m的方程，再解方程可得到满足条件的m的值，进一步求得P点坐标和直线PB的解析式．

解答 解：（1）A点坐标为（-1，0），Q点坐标为（0，1），B点坐标为（$\frac{m}{2}$，0），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-2x+m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m-1}{3}}\\{y=\frac{m+2}{3}}\end{array}\right.$，
则P点坐标为（$\frac{m-1}{3}$，$\frac{m+2}{3}$）；
（2）∵四边形PQOB的面积=S_△PAB-S_△QAO，
∴$\frac{1}{2}$•（$\frac{m}{2}$+1）•$\frac{m+2}{3}$-$\frac{1}{2}$•1•1=$\frac{5}{6}$，
整理得（m+2）²=16，
解得m₁=2，m₂=-6（舍去），
∴m的值为2，
∴P点坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$），直线PB的解析式y=-2x+2．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂平行，则k₁=k₂；若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．