Question

15．已知：如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并展开纸片．
（1）求证：四边形ADEF为正方形；
（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形．

Answer 1

分析 （1）由题意知，AD=DE，易证四边形AFED是矩形，继而证得四边形AFED是正方形；
（2）由BG与CD平行且相等，可得四边形BCDG是平行四边形，即证得CB=DG，在正方形AFED中，易证△DAG≌△EFG，则可得DG=EG=BC，即四边形GBCE是等腰梯形．

解答 （1）证明：∵DC∥AB，∠A=90°，
∴∠ADE=90°，
由折叠的性质可得：∠A=∠DEF=90°，AD=ED，AF=EF，
∵四边形ADEF为矩形，
∴四边形ADEF为正方形；

（2）连接EG，DG，
∵BG∥CD，且BG=CD，
∴四边形BCDG是平行四边形．
∴CB=DG．
∵四边形ADEF是正方形，
∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．
∵G是AF的中点，
∴AG=FG．
在△DAG和△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=EF}\\{∠A=∠EFG}\\{AG=FG}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△EFG（SAS），
∴DG=EG，
∴EG=BC．
∴四边形GBCE是等腰梯形．

点评 此题考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定．注意证得四边形BCDG是平行四边形与△DAG≌△EFG是关键．