Question

在平行四边形ABCD中，M，N分别是BC，DC的中点，AM=4，AN=3，且∠MAN=60°，求AB的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：几何图形问题,数形结合,分类讨论

分析：首先延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，易证得△ABM≌△ECM，即可得AB=

2

3

NE，然后由AM=4，AN=3，且∠MAN=60°，求得AH，NH与EH的长，继而求得EN的长，则可求得答案．

解答：解：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CE，
∴∠BAM=∠E，∠B=∠ECM，
∵M为BC的中点，
∴BM=CM，
在△ABM和△ECM中，

∠BAM=∠E ∠B=∠ECM BM=CM

，
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB=CD=CE，AM=EM=4，
∵N为边DC的中点，
∴NE=3NC=

3

2

AB 即AB=

2

3

NE，
∵AN=3，AE=2AM=8，且∠MAN=60°，
∴∠AEH=30°，
∴AH=

1

2

AE=4，
∴EH=

AE2-AH2

=4

3

，
∴NH=AH-AN=4-3=1，
∴EN=

NH2+EH2

=7，
∴AB=

2

3

×7=

14

3

．

点评：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．