题目内容
在直角坐标中，有两个边长都为10cm的等边三角形△ABC和△DEF，且BC、DE与x轴重合，B与原点O重合，连结AD、CF．（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．
（2）若BD=3cm，△ABC沿着x轴正方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒．
①当t为何值时，?ADFC是矩形，并求过矩形顶点A的反比例函数解析式．
②在①的条件下，反比例函数图象上是否存在点P，使|PC-PF|最大，若存在，画出点P的位置，并求PC-PF绝对值的最大值，若不存在，请说明理由．
考点：反比例函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）因为△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形所以AC=DF，又∠ACD=∠FDE=60°，可得AC∥DF，所以四边形ADFC是平行四边形；
（2）①当t=13秒时，平行四边形是矩形，此时B与F重合，而证得平行四边形ADFC是矩形，然后表示出点A的坐标，用待定系数法确定反比例函数的解析式即可．
②首先根据C（23，0），F（8，-5
）得到直线CF的解析式为：y=
x-
，从而得到DC=20，DF=10；然后在经过A的反比例函数上取一点P，则有PF-PC＜FC，从而耳朵当P，F，C在同一直线上时PC-PF取最大值等于FC，然后根据DC=20，DF=10，∠DFC=90°利用勾股定理求得FC=10
，从而得到|PC-PF|最大值．
（2）①当t=13秒时，平行四边形是矩形，此时B与F重合，而证得平行四边形ADFC是矩形，然后表示出点A的坐标，用待定系数法确定反比例函数的解析式即可．
②首先根据C（23，0），F（8，-5
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解答：（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个边长都为l0cm的等边三角形，
∴AC=DF=10cm，∠ACB=∠FDE=60°，
∴AC∥DF，
∴四边形ADFC是平行四边形；
（2）解：①若平行四边形ADFC是矩形，则∠ADF=90°，
∴∠ADC=90-60=30°
同理∠DAB=30°=∠ADC，
∴BA=BD，
同理EC=EF，
∴E与B重合，
∴BE=BD+DE=3+10=13
∴t=13÷1=13秒
在移动前A（5，5
），移动距离是13
∴移动后A（18，5
）
∴k=xy=18×5
=90
∴过矩形顶点A的反比例函数是：y=
，
②由题意可知：C（23，0），F（8，-5
）
∴直线CF的解析式为：y=
x-
，
∴DC=20，DF=10
在经过A的反比例函数上取一点P，
那么在△PFC中有：FC+PC＞PF（三角形两边之和大于第三边），
即PF-PC＜FC，
∴当P，F，C在同一直线上时PC-PF取最大值等于FC，
∵DC=20，DF=10，∠DFC=90°
∵FC=
=
=10
，
∴|PC-PF|最大值等于10
．
P的位置如图：
∴AC=DF=10cm，∠ACB=∠FDE=60°，
∴AC∥DF，
∴四边形ADFC是平行四边形；
（2）解：①若平行四边形ADFC是矩形，则∠ADF=90°，
∴∠ADC=90-60=30°
同理∠DAB=30°=∠ADC，
∴BA=BD，
同理EC=EF，
∴E与B重合，
∴BE=BD+DE=3+10=13
∴t=13÷1=13秒
在移动前A（5，5
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∴移动后A（18，5
| 3 |
∴k=xy=18×5
| 3 |
| 3 |
∴过矩形顶点A的反比例函数是：y=
90
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| x |
②由题意可知：C（23，0），F（8，-5
| 3 |
∴直线CF的解析式为：y=
| ||
| 3 |
23
| ||
| 3 |
∴DC=20，DF=10
在经过A的反比例函数上取一点P，
那么在△PFC中有：FC+PC＞PF（三角形两边之和大于第三边），
即PF-PC＜FC，
∴当P，F，C在同一直线上时PC-PF取最大值等于FC，
∵DC=20，DF=10，∠DFC=90°
∵FC=
| CD2-DF2 |
| 202-102 |
| 3 |
∴|PC-PF|最大值等于10
| 3 |
P的位置如图：
点评：本题考查了矩形的性质及其应用及反比例函数的综合知识，此题把平行四边形和矩形的判定都用于其中，可以让学生在练习中加以区分、训练，此类题目往往是中考压轴题，难度较大．
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