Question

9．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．
（1）如图（1），当动点P落在第①部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是∠PAC+∠APB+∠PBD=360°
（1）如图（2），当动点P落在第②部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是∠PAC+∠PBD=∠APB
（3）如图（3），当动点P落在第③部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是∠PAC=∠APB+∠PBD
（4）选择以上一种结论加以证明．

Answer 1

分析 （1）过点P作PE∥AC，根据平行线的性质即可得出结论；
（2）过点P作PE∥AC，根据AC∥PE可得出∠APE=∠CAP，再由PE∥BD可得出∠EPB=∠PBD，故可得出结论；
（3）延长BA，由三角形外角的性质可得出∠PBD=∠PBA+∠ABD，∠PAC=∠PAF+∠CAF，再由平行线的性质得出∠ABD=∠CAF，进而可得出结论；
（4）证明（1）即可．

解答 解：（1）如图（1），过点P作PE∥AC，则∠PAC+∠APE=180°．
∵AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠BPE+∠PBD=180°，
∴∠PAC+∠APB+∠PBD=360°．
故答案为：∠PAC+∠APB+∠PBD=360°；

（2）如图（2），过点P作PE∥AC，则∠APE=∠CAP，
∵AC∥BD，PE∥AC，
∴PE∥BD，
∴∠EPB=∠PBD，
∴∠PAC+∠PBD=∠APB．
故答案为：∠PAC+∠PBD=∠APB；

（3）如图（3），延长BA，则∠PBD=∠PBA+∠ABD，∠PAC=∠PAF+∠CAF，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CAF，
∴∠PAC-∠PBD=∠PAF-∠PBA，
而∠PBA+∠APB=∠PAF，
∴∠APB=∠PAC-∠PBD，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．
故答案为：∠PAC=∠APB+∠PBD；

（4）例如（1），过点P作PE∥AC，则∠PAC+∠APE=180°．
∵AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠BPE+∠PBD=180°，
∴∠PAC+∠APB+∠PBD=360°．

点评 本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线，利用平行线的性质求解是解答此题的关键．