Question

如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：四边形PBQD是平行四边形；
（2）若AD=8cm，AB=6cm，P从点A出发，以1cm/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒．
①请用t表示PD的长；②求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,平行四边形的判定,矩形的性质

专题：动点型

分析：（1）根据矩形性质推出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠PDO=∠QBO，根据全等三角形的判定ASA证△PDO≌△BQO，根据全等三角形的性质推出OP=OQ，则“对角线相互平分的四边形为平行四边形”；
（2）①由线段间的和差关系来求PD的长度；
②根据平行四边形的判定得出四边形PBQD是平行四边形，求出DP=BP即可．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
∵O为BD中点，
∴OB=OD，
在△PDO和△QBO中，

∠PDO=∠QBO OB=OD ∠POD=∠BOQ

，
∴△PDO≌△BQO（ASA），
∴OP=OQ．
又∵OB=OD，
∴四边形PBQD是平行四边形；

（2）①∵AP+PD=AD，AP=t，AD=8cm，
∴PD=8-AP=8-t（cm）．
②当t=

7

4

s时，四边形PBQD是菱形，
理由是：
∵四边形PBQD是菱形，
∴BP=DP=8-t（cm）．
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
AB²+AP²=BP²，
即6²+t²=（8-t）²
解得t=

7

4

．
∴当t=

7

4

s时，四边形PBQD是菱形．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，题目比较好，综合性比较强．