Question

15．如图，已知，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=OB，函数y=-$\frac{8}{x}$的图象与线段AB交于M点，且AM=BM，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．
（1）求证：MC=MD；
（2）求点M的坐标；
（3）求直线AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）先根据AM=BM得出点M为AB的中点，再根据MC⊥x轴，MD⊥y轴，故MC∥OB，MD∥OA得出点C和点D分别为OA与OB中点，根据OA=OB即可得出结论；
（2）由（1）知，MC=MD，设点M的坐标为（-a，a）．把M （-a，a）代入函数y=$-\frac{8}{x}$中求出a的值即可；
（3）根据点M的坐标得出MC，MD的长，故可得出A、B两点的坐标，利用待定系数法即可得出直线AB的解析式．

解答 （1）证明：∵AM=BM，
∴点M为AB的中点
∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∴MC∥OB，MD∥OA，
∴点C和点D分别为OA与OB中点，
∵OA=OB，
∴MC=MD．

（2）解：∵由（1）知，MC=MD，
∴设点M的坐标为（-a，a）．
把M （-a，a）代入函数y=$-\frac{8}{x}$中，解得a=2$\sqrt{2}$．
∴点M的坐标为（-$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$）．

（3）解：∵点M的坐标为（-$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$），
∴MC=$2\sqrt{2}$，MD=$2\sqrt{2}$，
∴OA=OB=2 MC=$4\sqrt{2}$，
∴A（-$4\sqrt{2}$，0），B（0，$4\sqrt{2}$）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（-$4\sqrt{2}$，0）和点B（0，$4\sqrt{2}$）分别代入y=kx+b中，$\left\{\begin{array}{l}-4\sqrt{2}k+b=0\\ b=4\sqrt{2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=4\sqrt{2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求一次函数的解析式、三角形中位线定理等知识，此题中根据题意得出A、B、M三点的坐标是解答此题的关键．