Question

在直角坐标系中，点A（-2，4）在经过原点的直线上，过A作直线OA的垂线交y轴于点B．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求B点坐标；
（3）若抛物线y=a（x+m）²+k的顶点总是落在线段AB上，且它与x轴的一个交点落在（1，0）与（2，0）之间（包括这两点）．
当抛物线的顶点A（-2，4），与x轴交于（2，0）时，抛物线开口最大；
当抛物线的顶点B，与x轴交于（

 

，

 

）时，抛物线开口最小；
∴a的取值范围是：

 

 （直接写出答案）

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设直线OA的解析式为y=kx，将A（-2，4）代入，运用待定系数法即可求出直线OA的解析式；
（2）过A点作AC⊥y轴于点C，则∠ACB=∠OCA=90°，先由同角的余角相等得出∠AOC=∠CAB，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△ACB∽△OCA，于是

AC

CO

=

BC

AC

，由此求出BC=1，进而得到B点坐标为（0，5）；
（3）将顶点A（-2，4）代入y=a（x+m）²+k，得到y=a（x+2）²+4，再将（2，0）代入，求出抛物线开口最大时的a值；当抛物线的顶点为B时，对称轴为y轴，此时由题意可知当抛物线与x轴交于（1，0），（-1，0）时，抛物线开口最小，求出此时a的值，那么a的取值范围介于这两者之间．

解答：解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，
将A（-2，4）代入，得-2k=4，
解得k=-2，
故直线OA的解析式为y=-2x；

（2）过A点作AC⊥y轴于点C，则∠ACB=∠OCA=90°．
∵∠OAB=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，∠CAB+∠OAC=90°，
∴∠AOC=∠CAB．
在△ACB与△OCA中，

∠ACB=∠OCA=90° ∠AOC=∠CAB

∴△ACB∽△OCA，
∴

AC

CO

=

BC

AC

，即

2

4

=

BC

2

，
解得BC=1，
∴OB=OC+BC=4+1=5，
∴B点坐标为（0，5）；

（3）∵将顶点A（-2，4）代入y=a（x+m）²+k，得到y=a（x+2）²+4，
再将（2，0）代入，得0=a（2+2）²+4，
解得a=-

1

4

，此时抛物线开口最大；
当抛物线的顶点为B（0，5）时，解析式为y=ax²+5，
那么当此抛物线与x轴交于（1，0），（-1，0）时，抛物线开口最小，
将（1，0）代入y=ax²+5，得0=a×1²+5，
解得a=-5；
∴a的取值范围是：-5＜a＜-

1

4

．
故答案为1，0；-5＜a＜-

1

4

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求正比例函数的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，综合性较强，难度适中．