Question

14．已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=2x+10，与y轴交于点A，与x轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P（a，b）为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，问：
①若△PBO的面积为S，求S关于a的函数关系式；
②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线AB解析式，令x=0与y=0分别求出y与x的值，即可确定出A与B的坐标；
（2）①把P坐标代入直线AB解析式，得到a与b的关系式，三角形POB面积等于OB为底边，P的纵坐标为高，表示出S与a的解析式即可；②存在，理由为：利用三个角为直角的四边形为矩形，得到四边形PFOE为矩形，利用矩形的对角线相等得到EF=PO，由O为定点，P为动点，得到OP垂直于AB时，OP取得最小值，利用面积法求出OP的长，即为EF的最小值．

解答 解：（1）对于直线AB解析式y=2x+10，
令x=0，得到y=10；令y=0，得到x=-5，
则A（0，10），B（-5，0）；
（2）连接OP，如图所示，
①∵P（a，b）在线段AB上，
∴b=2a+10，
由0≤2a+10≤10，得到-5≤a≤0，
由（1）得：OB=5，
∴S_△PBO=$\frac{1}{2}$OB•（2a+10），
则S=$\frac{5}{2}$（2a+10）=5a+25（-5≤a≤0）；
②存在，理由为：
∵∠PFO=∠FOE=∠OEP=90°，
∴四边形PFOE为矩形，
∴EF=PO，
∵O为定点，P在线段AB上运动，
∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，
∵$\frac{1}{2}$AB•OP=$\frac{1}{2}$OB•OA，
∴$\sqrt{{5}^{2}+1{0}^{2}}$•OP=50，
∴EF=OP=2$\sqrt{5}$，
综上，存在点P使得EF的值最小，最小值为2$\sqrt{5}$．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．