Question

8．如图，△ABC是等边三角形，过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D，连结AD，过点C作∠BCE=∠BAD交AB的延长线于点E．
（1）求证：BD=BE；
（2）若BE=2，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由BC=AB，∠BCE=∠BAD，证得∠ABD=∠CBE，得出△ABD≌△CBE，因此便可得出BD=BE；
（2）过D作DF⊥AE于F，∠CBD=∠FBD，BD=BD，得出△BCD≌△BFD，进一步求得DF，AB的长，利用勾股定理求得AD的值．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°．
∴∠CBE=120°，
∵BD平分∠CBE，
∴∠CBD=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE=120°，
∵在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠BCE}\\{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（ASA）．
∴BD=BE．

（2）如图，

过D作DF⊥AE于F，
∴∠DFB=∠DCB=90°，
在△CBD和△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCB=∠DFB}\\{BD=BD}\\{∠CBD=∠FBD}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△FBD（AAS）．
∴CB=BF，DF=CD，
∵∠DBF=60°，∠BFD=90°，
∴∠FDB=30°，
∵BD=BE=2，
∴BF=BC=AB=1，
∴DF=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法．