Question

16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6，2$\sqrt{3}$，如果用一个2倍放大镜看菱形ABCD，则∠BAD=60°，菱形ABCD的周长=16$\sqrt{3}$，面积=24$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由菱形的对角线互相垂直平分得出菱形的边长，那么根据AB=AD=BD=2$\sqrt{3}$，得出△ABD是等边三角形，所以∠BAD=60°，再求出周长=4AB=8$\sqrt{3}$，面积=$\frac{1}{2}$AC×BD=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$．由于用一个2倍放大镜看菱形ABCD，得到放大后的菱形与原来的菱形相似，相似比为2：1，根据相似三角形的性质即可求解．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=3，BO=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，且AO⊥BO，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=AD=BD=2$\sqrt{3}$，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
∴周长=4AB=8$\sqrt{3}$，面积=$\frac{1}{2}$AC×BD=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$．
如果用一个2倍放大镜看菱形ABCD，则放大后的菱形与原来的菱形相似，相似比为2：1，
所以∠BAD=60°，菱形ABCD的周长=2×8$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$，面积=4×6$\sqrt{3}$=24$\sqrt{3}$．
故答案为60，16$\sqrt{3}$，24$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似的性质，解题的关键是掌握“菱形的对角线互相垂直平分”，难度适中．