Question

1．已知f（x）=x²-ax+a的定义域为{x|0≤x≤1}
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求f（x）的最大值及最大值点；
（2）若f（x）≥0在定义域内恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据a的值可以求出二次函数的解析式，从而可以求得在定义域内f（x）的最大值及最大值点；
（2）根据题意可以得到分两种情况，然后列出相应的不等式，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，
∴f（x）=x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$=$（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{7}{16}$，
∵f（x）的定义域为{x|0≤x≤1}，
∴x=1时，f（x）取得最大值，此时f（x）=1，最大值点为（1，1），
即f（x）的最大值是1，最大值点是（1，1）；
（2）∵f（x）=x²-ax+a的定义域为{x|0≤x≤1}，f（x）≥0在定义域内恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-a}{2}≤0}\\{{0}^{2}-a×0+a≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-a}{2}≥1}\\{{1}^{2}-a×1+a≥0}\end{array}\right.$，
解得，a=0或a≥2，
即f（x）≥0在定义域内恒成立，a的取值范围是a=0或a≥2．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值，解答此类问题的关键是明确题意，利用定义域确定函数的最值．