Question

10．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
请猜想1+3+5+7+9+…+19=100；
（2）试用含有n的式子表示这一规律：
1+3+5+7+9+…+2n-1=n²；（n为正整数）
（3）请用上述规律计算：①1+3+5+…+99
②101+103+105+…+2015+2017．

Answer 1

分析 （1）根据图示和数据可知规律是：等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，据此可得；
（2）利用（1）中的规律可得；
（3）①1+3+5+…+99=（$\frac{1+99}{2}$）²=50²；
②由1+3+5+7+…99+101+103+105+…+2017=1009²，1+3+5+7+…+99=50²，两式相减可得101+103+105+…+2017=1009²-50²=1015581．

解答 解：（1）观察，发现规律：1=1²，1+3=2²，1+3+5=3²，…，
∴1+3+5+…+（2n-1）=n²，
∴④1+3+5+7+9+…+19=10²=100．
故答案为：100．

（2）由（1）知，1+3+5+…+（2n-1）=n²，
故答案为：2n-1；

（3）①令2n-1=99，
解得：n=50，
∴1+3+5…+99=50²．
②∵1+3+5+7+…99+101+103+105+…+2017=1009²，
1+3+5+7+…+99=50²，
上式减去下式可得：101+103+105+…+2017=1009²-50²=1015581．

点评 本题主要考查数字的变化规律和图形的变化类及实数的运算，根据图形得出等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方是解题的关键．