Question

【题目】如图，中，边上的高，点在上，且，点在上，过点作交于点，当点在高上移动时，点可左右移动的最大距离是__________．

Answer 1

【答案】4

【解析】

先求出AB及∠BAD=∠ABC=45°，当点F与点A重合时，DG=AD=3，即点G在点D右侧时最大值为3，过点E作EH⊥AD于H，设DG=y，DF=x，则FH=2-x，证明△EFH∽△FGD，得到，求出，当x=1时，y有最大值1，即点G在点D左侧时最大值为1，由此得到点G左右移动的距离.

∵，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

∵∠ABC=45°，

∴∠BAD=∠ABC=45°，

∴BD=AD=3，

∴CD=AB-BD=7-3=4， ，

∵，

∴AE=，

当点F与点A重合时，如图1，

∵∠EFG=90°，

∴∠DAG=∠AGD=45°，

∴DG=AD=3，即点G在点D右侧时最大值为3，

当点F向下移动到最低位置时，如图2，过点E作EH⊥AD于H，

∴AH=EH=1，∠EHF=90°，

∴DH=AD-AH=2，

设DG=y，DF=x，则FH=2-x，

∵∠EFG=90°，

∴∠EFH+∠GFD=90°，

∵∠HEF+∠EFH=90°，

∴∠HEF=∠GFD,

∵∠EHF=∠GDF=90°，

∴△EFH∽△FGD，

∴，

∴，

∴，

∵-1<0，

∴当x=1时，y有最大值1，即点G在点D左侧时最大值为1，

∴点可左右移动的最大距离是3+1=4，

故答案为：4.