Question

【题目】已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，交AB于点F，DF=BF，EA=EF．

（1）求证：△AEF为等边三角形；

（2）若CF⊥AB，①试说明DC = CF；②求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②

【解析】

（1）根据直径可得，再根据等腰三角形和外角定理可得，再根据EF=EA，即可得到结果；

（2）①连接OC，则OA=OC，由（1）可得，得到三角形AOC是等边三角形，再由CF⊥AB，根据三线合一的性质可得到角的关系，即可得到结果；②根据已知条件证明，可得，根据勾股定理即可得到结果．

（1）证明：由图可知。

∵AB是O的直径

∴，

∴，

∵DF=BF，

∴，

∴，

∵EA=EF，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵EF=EA，

∴△AEF是等边三角形．

（2）①如图所示，

连接OC，则OA=OC，由（1）可得，

∴三角形AOC是等边三角形，

又∵CF⊥AB，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴CD=CF．

②由题可得圆的半径为1，

由①可得：,，

∴，

∴AC=OC=CA=1，

∴，

∴，

∴．