Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．

(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或．

【解析】

（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；

（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；

（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．

解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，

故抛物线的表达式为：…①；

(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，

将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，

，

∵，故有最大值，当时，其最大值为；

(3)∵，∴，

∵，故与相似时，分为两种情况：

①当时，，，，

过点A作AH⊥BC与点H，

，解得：，

∴CH＝

则，

则直线OQ的表达式为：…②，

联立①②并解得：，

故点或；

②时，

，

则直线OQ的表达式为：…③，

联立①③并解得：，

故点或；

综上，点或或或．